極値は関数の旅路における重要な節目を表します。私たちは、 絶対値（グローバル）——関数の定義域全体における最終的な山頂または谷底——と、 局所値——その近隣の点よりも高いか低い峰や谷。これらの点は、ロケットの軌道から燃料消費の最小化まで、物理システム最適化の主要なターゲットとなります。
1. 極値の正式な定義
定義1：絶対極値
$c$ を関数 $f$ の定義域 $D$ 内の数とします。
- $f(c)$ が 絶対最大値 すべての $x$ に対して $f(c) \ge f(x)$ である場合。
- $f(c)$ が 絶対最小値 すべての $x$ に対して $f(c) \le f(x)$ である場合。
定義2：局所極値
$f(c)$ が 局所最大値 （または最小値）であり、$x$ が 近くにあるとき $c$ に近い場合。
2. 存在保証：極値定理（EVT）
解を見つけるには、その解が存在することが前提です。 極値定理 は次の保証を与えます：関数 $f$ が 連続 閉区間 上に連続している場合、 $[a, b]$ 上で連続であれば、$f$ は必ず 絶対最大値と絶対最小値の両方を達成する必要があります。
超越関数におけるこの対比を見てみましょう：
- 例1（周期的）： $f(x) = \cos x$ は、$1$ の絶対最大値を無限回達成します（$x = 2n\pi$ において）。
- 例3（べき関数）： $f(x) = x^3$（定義域 $(-\infty, \infty)$）は 極値を持ちません。なぜなら、それは無限に増加し、無限に減少するからです。
3. 対称性と成長
もし $f(-x) = f(x)$ ならば、関数は 偶関数 であり、$y$ 軸に関して対称です。これは、$x = 2$ に局所最小値があるならば、$x = -2$ にも同じ最小値が存在しなければならないことを意味します。これは、$f(x) = x^2$（例2）で確認できます。ここで $f(0)=0$ は、局所最小値かつ絶対最小値です。
🎯 核心原則
$[a, b]$ 上での絶対極値を見つけるためには、内部のすべての臨界点および端点 $a$ と $b$ で関数の値を評価してください。最も大きい値が絶対最大値であり、最も小さい値が絶対最小値です。